Содержание
§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа
Комплексные равенства
Геометрическое изображение комплексных чисел
Модуль и аргумент комплексного числа
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа
Арифметические действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного числа
Формулы Эйлера
§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Определение алгебраического уравнения -й степени
Основные свойства многочленов
Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Вопросы для самопроверки
Глоссарий
§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа (
Сформулируйте определение комплексного числа)
Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
Комплексное число в алгебраической форме,(1)
Где x, y Î;
i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.
Основные термины:
x = Re z — действительная часть комплексного числа z;
y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;
— комплексно сопряженное число числу z;
— противоположное число числу z;
— комплексный ноль;
– так обозначается множество комплексных чисел.
Примеры
1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i;
2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i;
3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5
Þ если Im z = 0, то z = x — действительное число;
4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i, = –0 – 3i = – 3i
Þ если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.
Комплексные равенства (
Сформулируйте смысл комплексного равенства)
1) ;
2) .
Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.
Примеры
1) ;
2) .
Геометрическое изображение комплексных чисел (
В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)
Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.
Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.
Модуль и аргумент комплексного числа (
Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)
Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число
.(2)
Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).
Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x, y)).
Обозначение , причем , или .
Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
Аргумент комплексного числа ,(3)
причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (
Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)
Так как геометрически очевидно, что и , то
Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Примеры
Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.
1)z = 1 + i Þ
,
Þ
Þ;
2) Þ
,
Þ
Þ;
3) Þ
,
Þ
Þ
;
4),
;
5),
;
6),
то есть для z = 0 будет
, j не определен.
Арифметические действия над комплексными числами (
Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.) Сложение (вычитание) комплексных чисел
z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)
то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.
Примеры
1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;
2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.
Основные свойства сложения
1)z1 + z2 = z2 + z1;
2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);
3)z1 – z2 = z1 + (– z2);
4)z + (–z) = 0;
5).
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)
= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),
то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.
Примеры
1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;
2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.
Умножение комплексных чисел тригонометрической форме
z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) =
= r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =
= r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))
Þ
Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Пример
Основные свойства умножения
1)z1×z2 = z2×z1 — коммутативность;
2)z1×z2×z3 = (z1×z2)×z3 = z1×(z2×z3) — ассоциативность;
3)z1×(z2 + z3) = z1×z2 + z1×z3 — дистрибутивность относительно сложения;
4)z×0 = 0; z×1 = z;
5).
Деление комплексных чисел
Деление — это обратная умножению операция, поэтому
если z×z2 = z1 и z2 ¹ 0, то .
При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:
Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)
Примеры
1);
2).
Возведение комплексного числа в натуральную степень
Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:
В результате получается формула Муавра:
Формула Муавра,(9)
то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить (1 + i)10.
Решение:
Замечания
1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. ............
