Министерство общего и профессионального образования РФ Гимназия № 12 РЕФЕРАТ на тему: Комплеклсные числа Выполнил: ученик 9 "Д" класса Крутько Е.А. Проверила: Санина В.Г. Тюмень 1999 План. 1. Зачем нужны новые числа? 2. Неприводимый случай кубического уравнения. 3. Действительное + мнимое = комплексное. Когда мы слышим слово "число", то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1, 2, 3... Их мы используем для пересчета разнообразных предметов. Если натуральных чисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее - к рациональным числам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаются конечными десятичными дробями. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд. Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможных измерений с произвольной точностью. Чего же еще ждать от чисел? Но вот нам говорят, что существуют несоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, т.е. отношение их длин -- не является рациональным числом, хотя и может с любой наперед заданной точностью быть приближенно рациональным числом. И тогда становится понятно, что проще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо "решим уравнение x2=2 "говорить" найдем такое x, чтобы x2 отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину". Построенное таким образом сообщество - множество действительных чисел - уже не только удовлетворяет нашим практическим потребностям, но и обладает определенной теоретической полнотой. Оно позволяет формулировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясь впасть в противоречие. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлекать корень четной степени из отрицательных чисел и т.д. Однако правила эти несложны, и если им строго следовать, то все будет в порядке... Но все ли? Рассмотрим такой пример: можно считать равным и 1, и -1, а определить невозможно. С другой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12. Однако = (-1)1/6, (-1)2/12 , а последний корень можно извлечь! Вот еще один пример: . Но если квадратного корня из -1 не существует, то и его четвертой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат? Кому-то покажется, что все это не настоящие противоречия. Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами, и подобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются только с нарушением определенного запрета, и никак не удается найти "законного" способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения, ставшего слишком обременительным? Именно это произошло в свое время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательных величин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения. Для решения уравнения вида была выведена формула , прдобно тому как для решения квадратного уравнения существует общая формула, выражающая корни уравнения через его коэффиценты, аналогичная формула есть и для кубического уравнения. Она называется формулой Кардано - по имени математика, впервые ее опубликовавшего. Но, к примеру, для уравнения х3 = 30х + 36 Формула Кардано дает х = Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательное число. В то же время имеет решение х = 6 - это легко проверить. Однако, предположим на секунду, что корни из отрицательных чисел существуют. ............