Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
    Реферат по математическому анализу выполнил: студент МГТУ им. Баумана группа Э2 -11 Тимофеев Дмитрий
    Москва 2004. Введение
    Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.
    Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t?T?R , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.
    Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление
    r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
    является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) - действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения T?R , называемые координатными функциями вектор-функции r(t). Понятие кривой
    Введём теперь термин "кривой". Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.
    Определение 2. Множество Г?R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t?[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.
    При фиксированном значении t = t0 ? [a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление
    Г = {r ? R3 : r = r(t), t?[a, b] },
    Г = {(x; y; z) ? R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t?[a, b] }
    Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.
    Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать
    Г = {(x; y; z) ? R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t?[c, d] }.
    Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t?(a, b) называют простым замкнутым контуром.
    Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
    Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:
    Г = {(x; y; z) ? R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t?[a, b] }.
    причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
    Г = {(x; y) ? R2 : x = x(t), y = y(t), t?[a, b] }.
    График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) ? R2 : x = x, y = f(x), x?[c, d] }.
    В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . ............