Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений
    Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.
    В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.
    Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта. 1. Области, функциональное пространство, полиномиальные последовательности
    Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через ?. Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]
     (1.1) круговая луночка S конформно отображается в бесконечную полосу.
    Обозначив обратное к (1.1) преобразование как ? =?(x,y), ? =?(x,y), отметим, что поверхность ?(x,y)=?j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно определяется заданием ?1 и ?, т.е. S=S(?1,?). Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(?,?),y(?,?)) обозначим как ?u(?,?).
    В качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj(?) ? ?u(?,?j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d???0. Совокупность всех таких элементов u(x,y) обозначим как W?(S). Определим в W?(S) скалярное произведение, положив:. Здесь (x0,y0) - произвольная внутренняя точка из S.
    Рассмотрим функцию комплексного переменного z = x+iy: .
    Функции u0 и v0 принадлежат W?0(S) и в биполярных координатах имеют следующий вид:
    ???????? (1.2) Используя формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:
     (1.3) Интегралы в (1.3), очевидно, сходятся при a?(-?,?), ??b??2?.
    Функции ?u0(?,?) и ?v0(?,?) удовлетворяют условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки ? из интервала (0,2?). Значит, для такого ? и вещественного t, удовлетворяющего условию | t |? max(?, 2?-?), имеют место разложения:
     (1.4) Здесь и далее под ?k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,.... Коэффициенты ?uk(?,?), ?vk(?,?) этих разложений при k?1 обладают рядом интересных свойств.
    1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:
     (1.5) 2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):
     (1.6) 3. ............