Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1.1 Основные формулы комбинаторики
    В данном разделе мы займемся подсчетом числа "шансов". О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов - это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие.
    Теорема о перемножении шансов
    Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит ni элементов, 1 0, P(A) > 0).
    Теорема умножения для большего числа событий:
    Теорема 7. P(A1 ? A2 ?...? An) = P(A1) P(A2\A1) P(A3 \A1 ?A2)... P(An \A1?...?An-1)если соответствующие условные вероятности определены. 4.2 Независимость
    Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(A?B) = P(A)P(B)
    Пример 14.
    1. Точка с координатами ?, ? бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у ?R события A = { ? 0, то есть при k < np + p;
    (b) Р(vn = k) < Р(vn = k-1 )при np + p - k < 0, то есть при k > np + p;
    (c) Р(vn = k) = Р(vn = k-1 при np + p - k = 0, что возможно лишь если np + p - целое число.
    Рассмотрим два случая: np + p -целое число и np + p - дробное число. В первом случае пусть k0 = np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что
    
    Во втором случае пусть k0 = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует, что
    
    Действительно, неравенство Р(vn = k0) > Р(vn = k0+1), например, следует из (b), примененного для
    k = k0+1 > np + p.
    Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных "наиболее вероятных" числа успехов k0 = np + p и k0 -1 > np + p - 1,либо одно "наиболее вероятное" число успехов k0 = [np + p].
    Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.
    Теорема 12. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является
    a) единственное число k0 = [np + p], если число np + p не целое;
    б) два числа k0 = np + p и k0 -1= np + p -1, если число np + p целое.
    Пример 19. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2- не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [n/2 + 1 /2] = n/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей - получить 0, 1, ...n успехов, причем вероятности получить k и n-k успехов одинаковы.
    При нечетном же числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2 - целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n/2 + 1 /2 и n/2 - 1 /2. 5.3 Номер первого успешного испытания
    Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину ? , равную номеру первого успешного испытания.
    Теорема 13. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна
    P(? = k) = p qk-1.
    Доказательство. Действительно,
    
    Определение 21. Набор чисел {p qk-1 } называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается Gp или G(p).
    Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения". ............