Асимптотические методы исследования интегралов с параметром

Курсовая работа

Выполнил: ст-т 4 курса Бутаев Г.Н.

Дагестанский государственный университет

Махачкала 2006

Введение

Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

при больших значениях параметра .

Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

 , (1.1)

где -вещественнозначная функция,-большой положительный параметр.Функция

 может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что конечный отрезок и что  -достаточно гладкие при  функции.Тривиальный

случай  не рассматривается.

 

рис.1

Пусть  и достигается только в точке .Тогда функция  имеет максимум в точке ,который тем резче,чем больше (рис.1).Интеграл  можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума , и это приближение будет тем точнее,чем больше .В этой окрестности функции  можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть .Тогда ;пусть для простоты .Тогда

,

где - малое фиксированное число,и

, .

Следовательно,

.

Заметим,что .Последний интеграл равен

 (),

так как

.

Итак,мы получили асимптотическую формулу

 (). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

. ().

Здесь функция  на отрезке [-1,1] имеет максимум в точке  ;также

.Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).

 .

Получили формулу:

. ().

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера

Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция  не имеет максимума на данном интервале.

Представим подинтегральную функцию в виде

 

и сделаем замену переменной, положив .Тогда имеем:

.

Наш интеграл примет вид:

.

Это интеграл Лапласа: здесь  и .Функция  достигает максимума при , причем Поэтому по формуле (1.2) получаем

Получили формулу:

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

так как  для любого натурального .

Пусть теперь  совпадает с одним из концов отрезка, например ,и пусть для простоты .Заменяя  интегралом по отрезку  и заменяя приближенно на этом отрезке функции

 , получаем,что

Заметим,что .Вычисляя последний интеграл,получаем

, () (1.3)

Пример 3.Вычислим интеграл

Здесь функция  на отрезке [0,2] имеет максимум в точке ; также

Следовательно, можно применить формулу (1.3):

Получили формулу:

По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

1).Подытегральная функция имеет при больших  резкий максимум (т.е. ............