Лекции по математическому анализу
    
    (лекция 1)
    Определение функции нескольких переменных.
    Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
    Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
    G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения .
    
    Функции 2-х переменных.
    Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) ? G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
    
    Предел функции 2-х переменных.
    Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.
    Опр. Окрестностью точки р0 называется круг с центром в точке р0 и радиусом ?. ? = ?(х-х0)2+(у-у0)2?
    Число А называется пределом функции |в точке р0, если для любого
    Lim f(x,y)
    p-->p0
    сколь угодно малого числа ? можно указать такое число ? (?)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше ? выполняется неравенство: ?f(x,y) ? А???, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р0, с радиусом ?, значение функции отличается от А меньше чем на ? по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
    
    Непрерывность функции.
    Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.
    Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р0, если выполняются 3 условия:
    1)функция определена в этой точке. f(р0) = f(x,y);
    2)ф-я имеет предел в этой точке.
    Lim f(р) = ?
    p-->p0
    3)Предел равен значению функции в этой точке: ? = f(x0,y0);
    Lim f(x,y) = f(x0,y0);
    p-->p0
    Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
    Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
    Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
    Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
    
    Частная производная.
    Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.
    Дадим аргументу х приращение ?х; х+?х, получим точку р1(х+?х,у), вычислим разность значений функции в точке р:
    ?хz = f(p1)-f(p) = f(x+?x,y) - f(x,y) ? частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
    Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.
    ?z = Lim ?xz
    ?x ?x?0 ?x
    --> ?z = Lim f(x+?x,y) - f(x,y)
    ?x ?x?0 ?x
    Аналогично определяем частное производной по переменной у.
    
    Нахождение частных производных. ............