ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ
Контрольная работа
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Новосибирск 2009
Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом
8.
Решение
Используя формулы Крамера
Вычислим определитель системы линейных уравнений
Д = = (-4)(-5)1 + 3(5)3 + (-2)(-2)(-4) – (-2)(-5)(3) – (-4)(5)(-4) -3(-2)(1) =
= 20 + 45 – 16 – 30 – 80 + 6 = - 55
Так как Д # 0, то система линейных уравнений невырожденная и имеет единственное решение.
Вычислим определители Д1, Д2, Д3
Д1 = = (31)(-5)1 + (-6)(5)3 + (-11)(-2)(-4) – (-11)(-5)(3) – (31)(5)(-4) – (-6)(-2)(1) = - 155 – 90 – 88 – 165 + 620 – 12 = 110
Д2 = = (-4)(-6)1 + 3(-11)3 + (-2)(31)(-4) – (-2)(-6)(3) – (-4)(-11)(-4) – 3(31)(1) = 24 – 99 + 248 – 36 + 176 - 93 = 220
Д3 = = (-4)(-5)(-11) + (3)(5)31 + (-2)(-2)(-6) – (-2)(-5)(31) – (-4)(5)(-6) – 3(-2)(-11) = - 220 + 465 – 24 – 310 – 120 – 66 = - 275
Отсюда, X1 = = = - 2, X2 = = = - 4, X3 = = = 5
Проверка:
,
что подтверждает правильность найденного решения системы линейных уравнений.
· Решение матричным способом
A * X = B X = * В
= * * . Д = = - 55
здесь - алгебраические дополнения, которые и вычислим:
A11 = = (-5)1 – 5(-4) = 15
A12 = = -(3(1) –(-2)(-4)) = 5
A13 = = 3(5) – (-2)(-5) = 5
A21 = = -( (-2)1 – 5(3) ) = 17
A22 = = (-4)1 – (-2)3 = 2
A23 = = - ( (-4)5 – (-2)(-2) ) = 24
A31 = = (-2)(-4) – (-5)3 = 23
A32 = = - ( (-4)(-4) – 3(3) ) = - 7
A33 = = (-4)(-5) – 3(-2) = 26
= * * =
= = =
Ответ: X1 = - 2, X2 = - 4, X3 = 5
Задачи 11–20. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.
18.
Решение
Составим расширенную матрицу (А|B)
Приведем матрицу (А|B) к ступенчатому виду.
Оставив без изменения первую строку и умножая её соответственно на -3, -5, 4, прибавим полученное к строкам 2, 3 и 4
Оставив без изменения первую и вторую строки и умножая последнюю соответственно на -3, -5, прибавим полученное к строкам 3 и 4
По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и неопределенная (имеет бесконечно много решений). Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид
Так как эта система состоит из двух уравнений, но содержит три переменные, одну из переменных можно выбрать произвольно, например, положим х3. Перенося слагаемые с х3 в правую часть, получим систему
Решая ее, находим: x2 = , x1 = где х3 – любое действительное число.
Общим решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая их запись, в которой часть ее переменных, называемых базисными, выражены через оставшиеся переменные, называемые свободными. В данном примере переменные х1 и х2 – базисные, а х3 – свободная. И запись
называется общим решением системы.
Частные решения получаются из общего, если задать произвольно свободные переменные. Например, если , то X1 = 1, X2 = 2. Это частное решение системы.
Базисным решением системы линейных алгебраических уравнений называют такое частное решение, при котором свободные переменные равны нулю. Например, если , то X1 = , X2 = . Это базисное решение системы линейных алгебраических уравнений
Задачи 21–30. ............
