МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Локальные формации с метаабелевыми группами"

ГОМЕЛЬ 2006

Содержание

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

Введение

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.

Формация. Произведение формаций

Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой  и все группы, изоморфные .

Если группа (подгруппа) принадлежат классу , то она называется -группой (-подгруппой).

Определение 1.2. Класс групп  называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из  также принадлежит ;

2) из  всегда следует .

Если формации  и  таковы, что , то  называется подформацией формации .

По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество  всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация  – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс  всех -групп, класс  всех абелевых групп, класс  всех нильпотентных групп, класс  всех -групп ( – фиксированное простое число), класс  всех нильпотентных -групп, класс  всех разрешимых групп, класс  всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.

Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого множества формаций также является формацией;

2) если  – некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения , то объединение  является формацией.

Доказательство осуществляется проверкой.

Определение 1.3. Пусть  – непустая формация. Обозначим через  и назавем - корадикалом группы  пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых .

Очевидно, -корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы  обозначают иначе через  и называют -корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, -разрешимый корадикал, - сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. ............