СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Задание 12
Задание 13
Задание 14
Литература
Задание 1. Исследовать сходимость рядов:
а)
Решение:
Воспользуемся признаком Даламбера
Ряд сходится.
б)
Решение:
Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:
p ===
== =5
Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.
Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
Решение:
Рассмотрим ряд из модулей:
Сравним его с рядом
Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:
Ряд исследуем при помощи интегрального признака:
т.е. ряд расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница
|=
Задание 3. Найти область сходимости ряда:
Решение:
Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :
Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором
Следовательно, полученный ряд расходится.
Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:
Значит, полученный ряд сходится.
Областью сходимости заданного ряда является промежуток .
Задание 4. Вычислить с точностью
ε = 0,001 .
Решение:
Так как 83 является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых:
520 = 83 + 8.
Тогда
= = 8 = 8(1+0,001562)1/3 =
=8 =
= 8+ 0,0416-0,0002272+…
Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,
8 + 0,0416 8,0416
Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:
Решение:
Воспользуемся разложением
Так как по условию х = 0, то будем иметь
Найдем коэффициенты при х:
;
, .
Подставляя найденные значения в формулу, получим
Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
Решение:
Определимся с событием:
А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.
Вероятность этого события:
Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний:
Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А :
Тогда, искомая вероятность равна:
Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное и одно доброкачественное?
Решение:
Определимся с событиями:
А1 – выбор доброкачественного изделия из первой партии,
выбор бракованного изделия из первой партии,
А2 – выбор доброкачественного изделия из второй партии,
выбор бракованного изделия из второй партии.
Тогда
.
а) А – хотя бы одно изделие бракованное.
б) В – оба изделия бракованные.
.
в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.
.
Задание 9. ............
