Практическая работа

по курсу «Математические модели окружающей среды»

Задано временное изменение уровня воды в некоторых пунктах за период примерно в 170 лет.

Применить методы математической статистики для оценки характеристик и качества имеющихся данных наблюдений. Выполнить прогноз подъема уровня воды на будущее и проверить качество прогноза на уже имеющихся данных.

1.         Рассчитать моменты ряда (среднее и среднеквадратичное значение), построить функцию распределения и плотность функции распределения. Выполнить ее аппроксимацию теоретическими зависимостями.

 

Рис. 1.1. Изменение уровня воды за период в 102 года

Минимальный уровень воды = 0.06328, максимальное значение уровня = 0.6792

Заменим простой статистический ряд на статистический ряд с меньшим числом слагаемых, равным 100. И для такого ряда рассчитаем частоту события (в качестве события берем средний уровень воды).

Таким образом, имеем 100 интервалов, для каждого вычисляется частота события (число событий в статистическом ряде, когда X = x, к общему числу событий)

.                                             

 

В нашем случае имеем N=1024 события, а m – число уровней, попавших i-ый интервал Очевидны свойства этой частоты

Частоту различных уровней воды можно изобразить графически

Рис. 1.2. График зависимости частоты от среднего уровня воды

Статистическая функция распределения есть «частота» события Х < x в данном статистическом интервале

.          

Рис. 1.3. Функция распределения

Эта функция F*(x) является неубывающей со следующими пределами:

          F*(x ® –¥) = 0,             F*(x ® + ¥) = 1.                              

С функцией распределения F(x) связана плотность функции распределения f(x)

.                                         

которая удовлетворяет следующим соотношениям:

f(x) ³ 0,       ò f(x) dx = 1,        

Рис. 1.4. Плотность функции распределения

Была выполнена аппроксимация плотности функции распределения теоретическими зависимостями: полиномами 6-ой, 9-ой, 15-ой степени, тригонометрическими многочленами. Оптимальным приближением оказался полином 9-ой степени.

В качества критерия оптимальной аппроксимации использовали критерий Пирсона

Рис. 1.5. Аппроксимация плотность функции распределения полиномом 9-ой степени

Для нового ряда по имеющимся данным можно рассчитать математическое ожидание, характеризующее среднее значение уровня воды

,                             

и среднеквадратичное отклонение, характеризующее средний разброс этих значений:

s*=.

где - дисперсия:

xi – среднее значение случайной величины внутри разряда.

В нашем случае, средний уровень воды равен 0.41, а среднеквадратичное отклонение – 0.119

2. В какой степени данный ряд является стационарным? На каких временах данный ряд можно считать стационарным? Дать оценки моментов для «кусков» ряда и построить гистограммы оценок

Для того чтобы ряд был стационарным, должны быть выполнены условия

-            корреляционная функция не зависит от времени

математическое ожидание

-            дисперсия

-           

Для проверки стационарности делим исходный ряд на кусков, и для каждого такого куска проверяем выполнение трех условий.

– Корреляционная функция.

Фиксируем , где N – количество точек.

Считаем автокорреляционную функцию для первого отрезка, а затем – корреляционную функцию для каждых двух соседних кусков. ............