Задача 1. Элементы теории графов
Связный ориентированный граф G (Х, Г) задан множеством вершин X={x1, x2, …, xn} и отображением Гxi={x|I±k|, x|I±l|}, i =1, 2,…, n. Здесь i - текущий номер вершины, n- количество вершин графа. Значение индексов n, k и l возьмем из табл.1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов a, b , g… переменной x в отображении Гxi = {xa , xb , xg,…}. Если значения индексов a, b, g… переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гxi.
Выполнить следующие действия:
а) определить исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами;
б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;
в) выделить в ориентированном графе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;
г) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj
i*j при i ³ j;
Kij =
1/ (p+1) при i<j .
Найти передачу между вершинами x1 и xn, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа;
Таблица 1
№
варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 K 2 3 4 1 1 1 3 5 2 4 2 3 4 5 6 L 1 1 1 2 3 4 2 1 3 3 1 1 1 1 1
№
варианта
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 N 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 K 1 1 1 1 3 2 5 5 2 3 4 5 6 5 3 L 2 3 4 5 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 5
Решение:
Множество вершин
X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6 }, n = 6 k = 2, l = 1 Гxi={x|I±k|, x|I±l|}.
а) определим исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами:
Определим граф аналитическим способом:
Гx1 = { x1, x3, x2 };
Гx2 = { x4, x1, x3 };
Гx3 = { x1, x5, x2, x4 };
Гx4 = { x2, x6, x3, x5 };
Гx5 = { x3, x4, x6 };
Гx6 = {x4, x5 }.
Ориентированный граф графическим способом:
Неориентированный граф графическим способом:
Ориентированный граф матричным способом:
RG - матрица смежности
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1* 1 1 0 0 0
x2
1 0 1 1 0 0
x3
1 1 0 1 1 0
x4
0 1 1 0 1 1
x5
0 0 1 1 0 1
x6
0 0 0 1 1 0
AG - матрица инцидентности
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v17
v18
v19
x1
1* 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0
x2
0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0
x3
0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0
x4
0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1
x5
0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0
x6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1
Неориентированный граф матричным способом:
RD - матрица смежности
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1* 2 2 0 0 0
x2
2 0 2 2 0 0
x3
2 2 0 2 2 0
x4
0 2 2 0 2 2
x5
0 0 2 2 0 2
x6
0 0 0 2 2 0
AD - матрица инцидентности
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v17
v18
v19
x1
1* 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
x2
0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
x3
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
x4
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
x5
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
x6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:
- матрица отклонений имеет вид:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1 1 1 2 2 3
x2
1 0 1 1 2 2
x3
1 1 0 1 1 2
x4
2 1 1 0 1 1
x5
2 2 1 1 0 1
x6
3 2 2 1 1 0
- вектор отклонения
=>
х2, х3, х4, х5 - центры графа с наименьшей удаленностью. Радиус ρ (G) = 2.
Периферийными вершинами являются вершины х1, х6 с наибольшей удаленностью. ............