ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ
СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА
Контрольная работа
по курсу «Математика»
Выполнил студент В.В.Тюрин
Тула 2010
1. Задача 1
Для заданных двух множеств найти произведения и , изобразить их графически и найти пересечение
,
Решение
1.Определяем мощность декартового произведения:
2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:
3.Определяем пересечение множеств:
{Ø}
4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются
совокупности точек, обозначенные разными символами.
Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств
Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.
2. Задача 2
Вычислить предел функции с использованием основных теорем
Решение
3. Задача 3
Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя
Решение
Неопределенность
4. Задача 4
Найти производную простой функции
Решение
Итак,
5. Задача 5
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
Решение
1. Находим первую производную заданной функции
2. Определяем критические точки первого рода:
или ,
Отсюда ,
3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:
Таблица 1
-1,2
()
0
()
1
()
2,5
Знак
-
+
-
Величина
32,88
-6
-1
244 Экстремум m M
Итак,
В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.
6. Задача 6
Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки
Решение
Выполним подстановку:
Продифференцируем обе части уравнения:
=
7. Задача 7
Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби
Решение
1. Найдем производную знаменателя:
2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла.
3. Запишем число , как , получим:
4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:
6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.
Интеграл принимает табличный вид:
7. Записываем решение:
8. Задача 8
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям
Решение
9. Задача 9
По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь
А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)
Решение
1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):
Рис. ............
