Математичне програмування

Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач

Математичне програмування – математична дисципліна, яка займається вивченням методів розв’язування, аналізу та використання задач зі знаходження екстремуму функції на множенні допустимих варіантів функції. Математичне програмування використовують при розв’язанні різноманітних практичних задач, у тому числі і економічних.

Загалом послідовність використання економіко-математичних моделей така:

-           формується економічна проблема;

-           створюється математична модель задачі, у якій логічні зв’язки економічної моделі перетворюються на математичні співвідношення: функції. рівняння, нерівності;

-           розв’язується математична задача, перевіряється рішення;

-           перекладається розвиток на економічну мову і аналізується результат.

Математичне програмування – це частковий випадок системного аналізу однієї чітко вираженої мети, досягнення якої здійснюється за одним критерієм.

У загальному вигляді математична формулювання задачі виглядає таким чином:

-           необхідно знайти найбільше або найменше значення цільової функції f (x1, x2, x3…, xn);

-           якщо треба виконати умови gi (x1, x2, x3…, xn) £ bi, i = 1,2,3…,m;

-           де: f, gi – відомі функції,

bi - деякі дійсні числа, n > m.

Задачу оптимізації з точки зору економіки можна сформулювати таким чином:

-           знайти такі значення змінних. що надають ефективності діяльності максимальне чи мінімальне значення;

-           за умов виконання обмежень, які пов’язані зі змінними, , за допомогою котрих, змінних, здійснюється керування діяльністю.

Конкретна ціль, поставлена у економічній задачі, пояснюється цільовою функцією (критерієм ефективності), екстремум якої і треба знайти.

Обмеження відображають умови, при розв’язанні економічної задачі, наприклад, брак ресурсів, гранична вартість і таке інше. Змінні, з яких будується цільова функція, та на які накладаються обмеження, використовують як “інструмент”, за допомогою якого досягається той чи інший варіант цілі. Як змінні задовольняють усім обмеженням, так отриманий варіант називають припустимим (допустимим).

Задача математичного програмування полягає в тому, щоб з усіх допустимих варіантів значень інструментальних змінних (невідомих моделі) знайти такі, при яких функція цілі (критерій оптимальності) досягає екстремума.

Розв’язати задачу – це знайти її оптимальне рішення, або з’ясувати його відсутність.

Функція цілі (критерій оптимальності) повинна об’єктивно характеризувати суспільно-корисну значущість соціально-економічного явища або процесу. Критерій оптимальності можливо з’ясувати лише з економічної сутності проблеми – задача, яку розв’язує фахівець економіст. Принципово неможливо визначити цільову функцію на етапі розв’язання задачі математиком. такою ж мірою це все стосується також обмежень задачі оптимізації.

Класифікація моделей задач математичного програмування залежить від властивостей функції цілі та функцій обмежень.

Якщо функція цілі та усі функції обмежень лінійні, така задача математичного програмування має назву задачі лінійного програмування; якщо ж хоча б одна з функцій нелінійна, така задача має назву задачі нелінійного програмування.

Якщо у математичній моделі ураховується поетапно час, така задача має назву задачі динамічного програмування; у іншому випадку – задачі статичного програмування.

В залежності від того, який характер мають вихідні дані моделі – детермінований або стохастичний – задачі мають назву відповідно детермінованого та стохастичного програмування.

Серед задач нелінійного програмування особливо досконало досліджені задачі опуклого програмування – задачі знаходження екстремума опуклої функції, заданої на опуклій замкненій множині. ............