ЗАДАЧА №1
Предприятие выпускает четыре вида продукции П1, П2, П3, П4, при ограниченных запасах сырья С1, С2, С3, используемых для производства продукции. Известна прибыль, получаемая от реализации каждого вида продукции. Требуется определить объемы выпуска каждого вида продукции, которые обеспечат предприятию получение наибольшей прибыли при реализации продукции.
Расход сырья на производство единицы продукции, запасы сырья и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице.
Виды сырья Расход сырья Запасы сырья П1 П2 П3 П4 С1 2 0 1 2 800 С2 1 2 0 3 900 С3 2 1 2 3 1500 Прибыль 8 6 7 9 ---
Решение
Пусть Х1, Х2, Х3, Х4 – количество единиц выпускаемой продукции П1, П2, П3, П4 соответственно.
Тогда функция прибыли примет вид:
F(х)=8Х1+6Х2+7Х3+9Х4→max
Запишем ограничения по расходу сырья в виде системы неравенств:
2Х1+Х3+2Х4≤800
Х1+2Х2+3Х4≤900
2Х1+Х2+2Х3+3Х4≤1500
Х1,2,3≥0
Перейдем от неравенств к равенствам:
2Х1+Х3+2Х4+Х5=800
Х1+2Х2+3Х4+Х6=900
2Х1+Х2+2Х3+3Х4+Х7=1500
Решение будем вести в форме симплекс-таблиц.
№ п/п Х баз Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Вi Вi/ аiк 1 Х5 2 0 1 2 1 0 0 800 800 2 Х6 1 2 0 3 0 1 0 900 - 3 Х7 2 1
2
3 0 0 1 1500 750 «0» F(х) -8 -6
-7
-9 0 0 0 0 1 Х5 1 -0,5 0 0,5 1 0 -0,5 50 -100 2 Х6 1
2
0 3 0 1 0 900 450 3 Х3 1 0,5 1 1,5 0 0 0,5 750 1500 «0» F(х) -1
-2,5
0 1,5 0 0 3,5 5250 1 Х5 1,25 0 0 1,25 1 0,25 -0,5 275 2 Х2 0,5 1 0 1,5 0 0,5 0 450 3 Х3 0,75 0 1 0,75 0 -0,25 0,5 525 «0» F(х) 0,25 0 0 5,25 0 1,25 3,5 6375
Как видим, в последней строке все числа положительны, следовательно полученный план является оптимальным.
Для получения максимальной прибыли необходимо выпускать 450 ед. продукции П2 и 525 ед. продукции П3. Максимальная прибыль в этом случае составит 6375 ден. ед.
ЗАДАЧА № 2
Имеется 4 поставщика и 4 потребителя. Известны тарифы на перевозку единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю. Найти оптимальный план перевозки грузов от поставщиков к потребителям, обеспечивающий минимальные затраты.
1130
1220
Потребители 320 280 210 320 Поставщики 420 5 8 1 5 180 2 6 5 7 350 7 4 9 8 270 6 2 7 9
Так как количество груза у поставщиков (1220) превышает требуемое потребителями количество груза (1130) на 1220 – 1130=90 ед., то введем фиктивного потребителя с количеством груза 90 ед. и нулевыми тарифами на перевозку. Первоначальный опорный план составим методом двойного предпочтения, далее будем его улучшать методом потенциалов. В правом верхнем углу указаны тарифы на перевозку, в левом верхнем углу – сумма потенциалов, внизу по центру – количество перевозимого груза.
320 280 210 320 90 Ui 420 4 5 1 8
1 1
210
5 5
210
-3 0 0 180
2 2
180
-1 6 -1 5 3 7 -5 0 -2 350
7 7
140
4 4
10
4 9
8 8
110
0 0
90
3 270 5 6
2 2
270
2 7 6 9 -2 0 1 Vj 4 1 1 5 -3
В полученном плане перевозок для всех ячеек сумма потенциалов (Ui+ Vj) не превышает тарифы. ............
