Метод найменших квадратів
У процесі вивчення різних питань природознавства, економіки і техніки, соціології, педагогіки доводиться на основі великої кількості дослідних даних виявляти суттєві фактори, які впливають на досліджуваний об’єкт, а також встановлювати форму зв’язку між різними зв’язаними одна з одною величинами (ознаками).
Нехай у результаті досліджень дістали таку таблицю деякої функціональної залежності:
Таблиця 1
x
x1
x2
…
xn
y
y1
y2
…
yn
Треба знайти аналітичний вигляд функції , яка добре відображала б цю таблицю дослідних даних. Функцію можна шукати у вигляді інтерполяційного поліному. Але інтерполяційні поліноми не завжди добре відображають характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення дістають у результаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. У цьому разі задача інтерполювання табличної функції втрачає сенс. Тому шукають таку функцію , значення якої при досить близькі до табличних значень . Формулу називають емпіричною, або рівнянням регресії на . Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, «згладжуючи» значення величини , а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень .
Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення найкращих її параметрів.
Щоб встановити вигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами . Деякі з цих точок сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібрати найпростіші функції: лінійну, квадратичну, дробово-раціональну, степеневу, показникову, логарифмічну.
Встановивши вигляд емпіричної формули, треба знайти її параметри (коефіцієнти). Найточніші значення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменших квадратів. Цей метод запропонували відомі математики К. Гаусс і А. Лежандр.
Розглянемо суть методу найменших квадратів.
Нехай емпірична формула має вигляд
, (1)
де , , …, - невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів , за яких крива (1) якомога ближче проходитиме до всіх точок , , …, , знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (1). Відхилення від підстановки координат у рівняння (1) дорівнюватимуть величинам .
За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів ті, для яких сума квадратів відхилень
(2)
дослідних даних від обчислених за емпіричною формулою (1) найменша. Звідси випливає, що величина (2), яка є функцією від коефіцієнтів , повинна мати мінімум. Необхідна умов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні мають дорівнювати нулю, тобто
, , …, .
Диференціюючи вираз (2) по невідомих параметрах , матимемо відносно них систему рівнянь:
Система (3) називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і буде шуканим.
Якщо емпірична функція (1) лінійна відносно параметрів , то нормальна система (3) буде системою з лінійних рівнянь відносно шуканих параметрів.
Будуючи емпіричні формули, припускатимемо, що експериментальні дані додатні.
Якщо серед значень і є від’ємні, то завжди можна знайти такі додатні числа і , що і .
Тому розв’язування поставленої задачі завжди можна звести до побудови емпіричної формули для додатних значень .
Побудова лінійної емпіричної формули. ............
