Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов Антон Никифоров
    Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
     (1) Если последовательность {} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), ..., =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .
    Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
     (2) называются неподвижными.
    Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если >1 ([1], стр. 49), (3.1)
    
    Рис.1 Или в таком виде:
    ,(см. [2], p.3), Расстояния от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:
    , n>>1 (4) Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e. Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа и ) будет тем же самым. Алгоритм
    Интересно, что точки также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
    
    (a) Например, для цикла периода два: , где , таким образом (5.1)
    (б) Цикл периода четыре: , где , таким образом (5.2) Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
     (6) Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
     (6.1) Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
    НА ВХОД ПОДАЕМ:
    Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:
    Итерируем производную функции начиная с
    Начальные приближения двух значений параметра R: ,
    Разумное начальное приближение для постоянной :
    НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
    
    А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
    , n=2,3,4,...
    , i=0,1,2,...
    
    
    
    
    
    Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы. ............