Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В элементарной математике выделяют два вида уравнений: алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим уравнениям относятся:

1.          линейное;

2.          квадратное;

3.          кубическое;

4.          биквадратное;

5.         уравнение четвертой степени общего вида;

6.          двучленное алгебраическое уравнение n-й степени;

7.         степенное алгебраическое;

8.         – возвратное (алгебраическое);

9.          – алгебраическое уравнение ой степени общего вида;

10.      дробные алгебраические уравнения, т.е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида , где  и  – многочлены);

11.      иррациональные уравнения, т.е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены и алгебраические дроби;

12.      уравнения, содержащие модуль, под модулем которых содержатся многочлены и алгебраические дроби.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. В нашей работе рассмотрим подробнее алгебраические уравнения.

В учебной и методической литературе традиционно рассматриваются специальные приёмы решения уравнений. Между тем специфика решения уравнений каждого раздела – дело второстепенное. По существу, применяются четыре основных метода:

• замена уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x);

• метод замены переменной;

• метод разложения на множители;

• функционально-графический метод и их различные модификации.

Самый распространённый из них – метод замены переменной.

Исходя из этого, мы формулируем цель своей работы: изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1.         Раскрыть содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений: решение уравнения, равносильность и следствие, общие методы решения уравнений.

2.         Выявить возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

3.         Осуществить типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений и выявить критерии их применимости

4.         Составить комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений, и продемонстрировать их решение.

1. Основные понятия и утверждения, относящиеся к теории решения уравнений

В первой главе нашей работы раскроем содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений.

С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. ............