Контрольная работа «Многомерные и многосвязные системы»
Задание Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:
1. Передаточную функцию ;
2. Частотную передаточную функцию ;
3. Годограф;
4. Импульсную характеристику ;
5. Переходную характеристику ;
6. ЛАЧХ ;
7. ФЧХ .
Составить структурную схему системы.
Дано:
;
;
.
Решение: 1. Передаточная функция
Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:
,
.
Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:
; (1)
, (2)
где
; ;
– лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.
Преобразуем уравнение (1):
Выносим за скобки:
где
– единичная матрица.
Умножаем слева на обратную матрицу:
Откуда получаем:
.
Подставляем в уравнение (2):
Получаем:
Выражение называют передаточной функцией системы.
Находим её:
Находим обратную матрицу:
Подставляем:
.
2. Частотная передаточная функция
Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :
,
получаем:
.
Выделим действительную и мнимую части:
,
для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:
;
;
;
.
3. Годограф
Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.
Результат расчёта записываем в таблицу 1.
Таблица 1. Расчёт годографа
0 2,8750000 0,0000000 10 -0,0512719 0,4570747 200 -0,00018 0,020008 1 2,7230769 0,9846154 20 -0,0163435 0,2074170 300 -0,000078 0,013336 2 1,9500000 1,9000000 30 -0,0075500 0,1355448 400 -0,000044 0,010001 3 0,8344828 1,9862069 40 -0,0043030 0,1009350 500 -0,000028 0,008001 4 0,2250000 1,5500000 50 -0,0027705 0,0804792 600 -0,000019 0,006667 5 0,0130624 1,1611030 60 -0,0019302 0,0669441 700 -0,000014 0,005715 6 -0,0500000 0,9000000 70 -0,0014209 0,0573176 800 -0,000019 0,005000 7 -0,0645030 0,7269777 80 -0,0010893 0,0501171 900 -0,000009 0,004445 8 -0,0634615 0,6076923 90 -0,0008614 0,0445267 1000 -0,000007 0,004000 9 -0,0578113 0,5216604 100 -0,0006982 0,0400600 2000 -0,000002 0,002000
Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.
Рис. 1. Годограф
4. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:
.
Найдём полюса передаточной функции:
Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию на простые дроби:
.
Используя табличные значения, находим:
,
.
Таким образом, получаем:
.
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. Импульсная характеристика
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
-4 11,28 62,69 100,8 -167,1 -1236 -2395 2097 23854 54578 -15944
Строим график импульсной характеристики – рис. 2.
Рис. 2. Импульсная характеристика
5. ............
