Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
    Предположим, что существует множество R, на котором расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.
    Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:
    .
    И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.
    Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность.
    Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т. е. 0.
    Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x * 0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.
    В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда следует, x *(-y) = -x * y.
    Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .
    Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
    Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:
    0.
    Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через .
    Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.
    Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
    Ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности.
    Кольцо с единицей - наличие нейтрального элемента для операции умножения.
    (R, +) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
    Приведем некоторые примеры колец и полей.
    Допустим R - любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p = , где называется многочленом над кольцом R.
    Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [x]. Если , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg (p).
    Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p) + deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
    Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R [y][x]).
    Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента - 1 и -1 - и потому изоморфна .
    Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в , необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
    Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.
    Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).
    Если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. ............