Задача 1
Решить графоаналитическим методом:
min j (X) = - 2x1 - x2 + x3 (1)
при
2x1 - x2 + 6x3 £ 12 (2)
3x1 + 5x2 - 12x3 = 14 (3)
3x1 + 6x2 + 4x3 £ 18 (4)
X ³ 0 (5)
Решение:
Этап 1. Построение пространства допустимых решений
Выбираем прямоугольную систему координат: по горизонтальной оси указываем значения переменной х1, по вертикальной - х2.
Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных (5):
х1 ³ 0; х2 ³ 0 и х3 ³ 0. (6)
Первые два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е. выше оси х1 и правее оси х2).
Из ограничения (3) можно получить:
3x1 + 5x2 - 12x3 = 14®, (7)
с учётом условия неотрицательности третьей переменной (6) получаем новое ограничение:
. (8)
Подставляем в ограничение (2) найденное значение (7):
2x1 - x2 + 6x3 £ 12®®
® (9)
Подставляем в ограничение (4) найденное значение (7):
3x1 + 6x2 + 4x3 £ 18®®
® (10)
Чтобы учесть получившиеся ограничения, проще всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получим уравнения прямых:
,
,
.
Теперь рассмотрим, как графически интерпретируются неравенства. Каждое неравенство делит плоскость (х1, х2) на два полупространства, которые располагаются по обе стороны прямой, которая соответствует данному неравенству.
Точки плоскости, расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют неравенству (допустимое полупространство), а точки, лежащие по другую сторону - нет.
На рис.1 допустимые полупространства показаны стрелками.
Рис.1. Нахождение оптимального решения
Ограничения:
(А)
(В)
(С)
х2 ³ 0 (D)
х1 ³ 0 (E)
Этап 2. Нахождение оптимального решения
Точки пространства допустимых решений, показанного на рис.1, удовлетворяют одновременно всем ограничениям. Это пространство ограничено отрезками прямых, которые соединяются в угловых точках F, G, H, J и K.
Любая точка, расположенная внутри или на границе области, ограниченной ломаной FGHJK, является допустимым решением, т.к удовлетворяет всем ограничениям.
Пространство допустимых решений содержит бесконечное число точек.
Нахождение оптимального решения требует определения направления убывания целевой функции (1):
min j (X) = - 2x1 - x2 + x3.
Подставляем в целевую функцию найденное значение (7):
.
Мы приравниваем j (X) к нескольким убывающим значениям, например, (- 5) и (- 8). Эти значения, подставленные вместо j (X) в выражение целевой функции, порождают уравнения прямых; для значений (- 5) и (- 8) получаем уравнения прямых:
и
.
На рис.2 эти прямые показаны штрих-пунктирными линиями, а направление убывания целевой функции - толстой стрелкой.
Целевая функция может убывать до тех пор, пока прямые, соответствующие убывающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей минимально возможному значению целевой функции, и будет точкой оптимума.
Из рис.2 видно, что оптимальное решение соответствует точке Н. Эта точка является местом пересечения прямых (В) и (С), поэтому её координаты х1 и х2 находятся как решение системы уравнений, задающих эти прямые:
Решением этой системы будет:
х1 = 5,36
х2 = 0,16
при этом значение целевой функции равно:
.
Ответ:
Оптимальное решение:
х1 = 5,36
х2 = 0,16
при этом значение целевой функции равно:
j (X) = - 10,621.
Рис.2. ............
