БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа

Дисциплина «Математическое моделирование»

Тема: «Моделирование движения парашютиста»

Минск 2008

Содержание

Введение

1. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды

2. Формулировка математической модели и ее описание.

3. Описание программы исследования с помощью пакета Simulink

4. Решение задачи программным путем

Список использованных источников

Введение

 

Формулировка проблемы:

Катапульта выбрасывает манекен человека с высоты 5000 метров. Парашют не раскрывается, манекен падает на землю. Оценить скорость падения в момент удара о землю. Оценить время достижения манекеном предельной скорости. Оценить высоту, на которой скорость достигла предельного значения. Построить соответствующие графики, провести анализ и сделать выводы.

Цель работы:

Научиться составлять математическую модель, решать дифференциальные уравнения программными средствами (используется язык технических вычислений MatLAB 7.0, пакет расширения Simulink) и анализировать полученные данные о математической модели.

 
1.  Свободное падение тела с учетом сопротивления среды

При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Каждый понимает, что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды. Даже эту, относительно несложную, задачу нельзя решить средствами “школьной” физики: таких задач, представляющих практический интерес, очень много. Прежде чем приступать к обсуждению соответствующих моделей, вспомним, что известно о силе сопротивления.

Закономерности, обсуждаемые ниже, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости (хотя это утверждение не является абсолютным). При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение,  где  определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика  — это формула Стокса, где  — динамическая вязкость среды, r — радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20°С и давлении 1 атм  = 0,0182 H.c.м-2 для воды 1,002 H.c.м-2 , для глицерина 1480 H.c.м-2.

Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара сила сопротивления сравняется с силой тяжести (в движение станет равномерным).

Имеем

или

                     (1)

Пусть r= 0,1 м, = 0,8 кг/м (дерево). При падении в воздухе  м/с, в воде 17 м/с, в глицерине 0,012 м/с.

На самом деле первые два результата совершенно не соответствуют действительности. Дело в том, что уже при гораздо меньших скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: . ............