ГОУ ВПО “Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики”
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
Кафедра информационных систем и технологий
Моделирование физических процессов
Екатеринбург 2009
Оглавление
Введение
1. Математическая модель
2. Описание теории применяемой к задаче
3. Блок – схемы
4. Листинг программы
5. Фотография графика
6. Решение задачи в MathCAD
Вывод
Литература
Введение
Благодаря данной курсовой работе, я получу основные навыки: в моделирование физических процессов, грамотного распределения информации и грамотного использования возможностей языка программирования Pascal.
Курсовая работа является первой объёмной самостоятельной работой для меня в роли программиста. Эта работа завершает подготовку по дисциплине “Программирование на языках высокого уровня” и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам. После выполнения данной курсовой работы, я рассчитываю научиться строить графики функций, работать в MathCAD, и понимать геометрический смысл методов: Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта.
Математическая модель, постановка задачи.
1. Обсчитать первую точку методами Рунге–Кутта и Эйлера модифицированного.
2. Построить график к первой точке.
3. Составить блок - схемы.
4. Написать программу.
5. Построить график в MathCAD.
6. Сделать выводы
1. Математическая модель
Метод Рунге-Кутта
Теория:
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
= f(x, y), с начальным условием y() = .
Выберем шаг h и введём обозначения:
= + i*h , = y(), где
i = 0, 1, 2, …
- узлы сетки,
– значение интегральной функции в узлах.
Аналогично Модифицированного метода Эйлера решаем дифференциальное уравнение. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге – Кутта 4 порядка, последовательные значения искомой функции y определяются по формуле:
= + ∆y, где
∆ = (+ 2 + 2 + ), I = 0, 1, 2, …
А числа , , , на каждом шаге вычисляются по формулам:
h* f(, )
, )
, )
h* f(, + )
Обсчёт первой точки методом Рунге-Кутта:
Задано уравнение движения материальной точки: = x*sin(t), с условием
t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2.
Необходимо построить физическую и математическую модель движения.
tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.6829
/(a) = 1.0346
t(b) = 1.6829 + 0.125 = 1.8079
x(b) = 2+0.125*1.8079 = 2.2259
tg(b) = 2.2259*sin(1) = 1.8730
/(b) = 1.0803
t(c) = 1.6829 + 0.025 = 1.7079
x(c) = 2 + 0.025*(1.7079) = 2.0426
tg(c) = 2.0426*sin(1) = 1.7187
/(c) = 1.0438
t(d) = 1.6829 + 0.0375 = 1.7204
x(d) = 2 + 0.0375*1.7204 = 2.0645
tg(d) = 2.0645*sin(1) = 1.7372
/(d) = 1.0484
Обсчет первой точки модифицированным методом Эйлера
Заданно уравнение движения материальной точки: = x*sin(t), с условием
t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2.
Необходимо построить физическую и математическую модель движения.
A(1 ; 2)
tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.682
/(a) = 1.034
= + * f(, )
= 2 + 0.025*(1.6829) = 2.042
C(0.025 ; 2.042)
tg(c) = x*sin(t) = 2*sin(1.025) = 1.709
/(c) = 1.041
= +h*f(+ ; +*f(;))
= 2 + 0.05*(1.041) = 2.05205
Таблица измерений в Pascal, Mathcad:
t X1 X2 Xm 0 0 0 0 0.1 0.1778 0.1677 0.168 0.2 0.3354 0.3201 0.32 0.3 0.4804 0.4621 0.462 0.4 0.6165 0.5964 0.596 0.5 0.7460 0.7249 0.725 0.6 0.8705 0.8487 0.849 0.7 0.9909 0.9688 0.969 0.8 1.1079 1.0857 1.086
X1 – метод Эйлера модифицированный, X2 – метод Рунге – Кутта, Xm – решение в Mathcad
Фотография графика.
Решение в Mathcad
Вывод
В результате проделанной работы, я научился решать дифференциальные уравнения и строить к ним график, еще я научился решать такие уравнения в среде Turbo Pascal. ............
