Момент импульса и его свойства
В предыдущем разделе мы уже получили многие важные соотношения, касающиеся момента импульса и его проекций. В этой главе будет доведено до конца решение задачи о квантовании момента количества движения пространственного ротатора и рассмотрены его свойства.
4.3.6.1.Согласно (4.75), не существует состояния объёмного ротатора с . Поэтому при действии на волновую функцию с максимально возможным значением , т.е. , оператор повышения становится аннигилятором – "уничтожителем"
. (4.95)
Совершенно так же оператор уничтожает состояние с
.(4.96)
4.3.6.2. Чтобы от оператора сдвига , не имеющего собственных значений, перейти к одному из операторов с конкретными собственными значениями и достаточно умножить (4.95) слева на и воспользоваться формулой (4.93):
.(4.96)
Отсюда на основании (4.64) и (4.91) следует
, т.е.
(4.98)
4.3.6.3. В силу того, что постоянная определяет квадрат модуля момента импульса, она может быть только положительной величиной, либо равной нулю и, соответственно,
(4.99)
При дискретных допустимых значениях l его минимальная величина равна нулю, а все остальные сдвигаются последовательно на единицу вверх
или (4.100)
4.3.6.4. Этим охарактеризованы все свойства момента импульса при свободном вращении, а также и при вращательном движении на эквипотенциальной сферической поверхности. Квадрат модуля , сам модуль вектора и возможные его проекции на ось z определяются формулами
, где , т.е. (4.101)
(4.102)
, где т.е. .(4.103)
Таким образом, всякому конкретному значению модуля момента импульса отвечает возможное значение проекции, т.е. каждому уровню вращательной энергии соответствует возможных состояний пространственного ротатора. Уровень, определяемый квадратом момента импульса , соответственно, кратно вырожден,
4.3.6.5. В то время как проекция имеет конкретное значение, две другие проекции и , как мы говорили выше, остаются неопределенными. Это имеет наглядный физический смысл, который наиболее понятен из графической иллюстрации. На рис. 4.4 представлены возможные ориентации вектора при l=2 . Угол наклона вектора к оси z определяется формулой
(4.104)
т.е, и угол никогда не равен 0. Это означает, что вектор совершает прецессионное движение вокруг оси z.
4.3.6.6. Обращаем еще раз внимание читателя на то, что такая ситуация порождена принципом неопределенности. Да и сама формула квантования момента импульса пространственного ротатора (4.102) в которой величина не просто пропорциональна квантовому числу l, а имеет более сложный вид, является по сути следствием этого принципа.
4.3.7. Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр
4.3.7.1. Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротаторе однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, выраженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения
(4.105)
.(4.105)
(4.107)
Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.
4.3.7.2. Обозначим величину и составим таблицу 4.5 возможных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. ............
