Введение

         В наш бурно развивающийся век, казалось бы, все алгоритмы, которые можно придумать, уже придуманы. Но иногда встречаются задачи, для которых нет подходящих алгоритмов. Быть может потому, что задача редко встречается или, скорее всего для этой задачи нет эффективных алгоритмов (а, скорее всего, их и вовсе не существует).

         В этой работе будет обсуждаться тема разбиений множеств.

         В [1] автор даёт несколько таких алгоритмов: генерирование всех подмножеств n-элементного множества, генерирование всех k-элементных подмножеств множества {1, …, n} в лексикографическом порядке, генерирование всех разбиений множества {1, …, n} (на этом алгоритме остановимся подробней), нахождение всех разбиений числа.

         Первый из этих алгоритмов использует идею бинарного кода Грэя, остальные основаны на удалении или добавлении одного элемента. Последний алгоритм использует схему разбиения большего числа на меньшие числа.

Постановка задачи

         Формулировка первой задачи, которую мы рассмотрим, выглядит так: необходимо сгенерировать все разбиения множества, содержащего n элементов.

         Для формулировки второй задачи необходимо ввести некоторые понятия.

         Итак, дано множество, состоящее из n элементов. Каждый элемент этого множества образует некоторое понятие. Два или больше понятия могут быть объединены в новое понятие. Отличительная черта понятий – взятие их в круглые скобки.

         Задача выглядит так: сгенерировать все понятия, которые могут быть образованы из n элементов. Например, для n=3 имеем такие понятия (круглые скобки в начале и в конце опущены для краткости): (*)**, (*)(*)*, (*)(*)(*), (**)*, (**)(*), ((*)*)*, ((*)*)(*),  ((*)(*))*, ((*)(*))(*).

Математическое обоснование

Под разбиением n-элементного множества Х на k блоков будем понимать произвольное семейство , такое, что  для 1£і<j£k и  для 1£i£k. Подмножества  будем называть блоками семейства π. Множество всех разбиений множества Х на k блоков будем обозначать , а множество всех разбиений через П(Х). Очевидно, что  (более того,  является разбиением множества П(Х)).

Число Стирлинга второго рода S(n,k) определяется как число разбиений n-элементного множества на k блоков:

 где |X|=n.

Очевидно, что S(n,k)=0 для k>n. Принимают также S(0,0)=1, так как пустое семейство блоков является в соответствии с определением разбиением пустого множества. С числами Стирлинга второго порядка связано много любопытных тождеств:

S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) для 0<k<n, (1)

S(n,n)=1 для n≥0, (2)

S(n,0)=0  для n>0. (3)

Формулы (2) и (3) очевидны. Для доказательства формулы (1) рассмотрим множество всех разбиений множества {1, …, n} на k блоков. Это множество распадается на два различных класса: тех разбиений, которые содержат одноэлементный блок {n}, и тех разбиений,  для которых n является элементом большего (по крайней мере, двухэлементного) блока. Мощность первого класса равна S(n-1,k-1), т. е. такова, каково число разбиений множества {1, …, n-1} на (k-1) блоков. Мощность другого класса составляет kS(n-1,k), так как каждому разбиению множества {1, …, n-1} на k блоков соответствует в этом классе в точности k разбиений, образованных добавлением элемента n поочерёдно к каждому блоку.

Формулы (1)-(3) позволяют легко вычислять значения S(n,k) даже для больших значений n и k.

Вот другая рекуррентная зависимость:

 для k≥2. ............