МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2005г.

Дипломная работа

«Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам»

Исполнитель

студентка группы М-51

Рубан Е.М.

Руководитель

Д. ф-м н., профессор Монахов В.С.

Гомель 2005

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Подгруппа Фиттинга и её свойства

2. -длина -разрешимой группы

3. Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам

4. Используемые результаты

Заключение

Список использованных источников

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используются следующие обозначения.

 - простые числа.

 - знак включения множеств;

 - знак строгого включения;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех  для которых выполняется условие ;

 - число  сравнимо с числом  по модулю .

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида , ;

 - множество всех целых положительных чисел.

 - единичная группа;

 - единичная матрица размерности ;

 - полная линейная группа степени  над полем из  элементов, т.е. группа всех невырожденных линейных преобразований -мерного линейного пространства над полем из  элементов;

) - специальная линейная группа степени  над полем из  элементов.

) - проективная специальная линейная группа степени  над полем из  элементов, т.е. факторгруппа специальной линейной группы по ее центру

 - конечное поле порядка .

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 - также единичная подгруппа группы ;

 - множество всех простых делителей порядка группы ;

 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 - наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы ;

 - наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

 - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 - -холловская подгруппа группы ;

 - силовская -подгруппа группы ;

 - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

 - группа всех автоморфизмов группы ;

 - главный ранг группы ;

 - -главный ранг группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

Пусть  - максимальная цепь подгрупп, т.е.  для всех . Если  разрешима, то все индексы максимальной цепи примарны, т.е. ............