Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Як ми вже знаємо один і той же лінійний оператор в різних базисах задається різними матрицями. Виникає питання: чи не можна знайти такий базис векторного простору, в якому матриця лінійного оператора має найпростіший вигляд. Таким виглядом буде діагональний вигляд. До вияснення цього питання ми і приступаємо.

1. Інваріантні підпростори.

Нехай U підпростір векторного простору Vn, а φ – лінійний оператор, заданий на просторі Vn.

Означення. Підпростір U векторного простору Vn називається інваріантним відносно лінійного оператора φ, якщо образ φ кожного вектора  із U належить цьому підпростору U, тобто

.

Приклади.

1. Розглянемо звичайний тривимірний простір V3 і нехай φ – поворот навколо осі OZ. Інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина XOY і сама вісь OZ.

2. Розглянемо знову векторний простір V3 і лінійний оператор φ, який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V3 на площину XOY. Інваріантними підпросторами будуть: площина XOY, сама вісь OZ, всі площини, які проходять через вісь OZ і всі прямі площини XOY, які проходять через початок координат.

3. В будь-якому векторному просторі кожен підпростір інваріантний відносно тотожного і нульового оператора.

4. В будь-якому векторному просторі сам простір і його підпростір, який складається тільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійного оператора.

Доведемо, що перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора φ, інваріантні відносно цього оператора φ.

Нехай підпростори U1 і U2 – інваріантні відносно лінійного оператора , і нехай . Тоді  і , а значить  і , тобто . Отже, - інваріантний підпростір відносно оператора .

Нехай , де  і . Тоді  і , .Отже,  – інваріантний підпростір відносно оператора .

Особливу роль відіграють одновимірні інваріантні підпростори.

2. Власні вектори і власні значення.

Означення. Власним вектором лінійного оператора φ називається ненульовий вектор , для якого виконується рівність , де  – деяке число, яке називається власним значенням лінійного оператора, якому відповідає власний вектор .

Властивості власних векторів.

1.  Якщо  – власний вектор лінійного оператора  з власним значенням , то вектор  при будь-якому  також є власним вектором з тим самим власним значенням .

2.  Якщо , ,…, – власні вектори лінійного оператора , які належать до того самого власного значення , то будь-яка їхлінійна комбінація також буде власним вектором цього оператора з тим самим власним значенням .

3.  Теорема. Власні вектори, які відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення. Нехай , ,…, – власні вектори лінійного оператора , які відповідають різним власним значенням , відповідно, тобто . Доводимо теорему методом математичної індукції за кількістю векторів.

Для  теорема справедлива, бо  за означенням, і  тоді і тільки тоді, коли .

Нехай теорема справедлива при , тобто - лінійно незалежні. Припустимо, що

 (1)

і доведемо, що рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі .

Подіємо на рівність (1) лінійним оператором :

використавши лінійність оператора , одержимо

звідси

. ............