ОКРЕМІ ВИПАДКИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

1. Зовнішній інтеграл

Функції  і  можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо  як функція від  є вимірною.

Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція  може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.

Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції  і  таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації : функції  і , , повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини , а множини  значень припустимих стратегій повинні бути компактними.

На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.

Позначимо через  простір елементарних подій, що є довільною множиною, а  – деяка система підмножин множини .

Математичним сподіванням випадкової величини , заданої на імовірнісному просторі , називається число , якщо інтеграл з правої частини існує.

Нехай  і  – борелівські простори, ,  є -алгеброю в . Функція  називається -вимірною, якщо  для будь-якої множини . Тут  – борелівська -алгебра простору .

Для функції , () зовнішній інтеграл за мірою  визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій  (), що мажорують , тобто

, .

Тут  – функція розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірнісній мірі .

Для довільної функції  має місце співвідношення:

,

де , , і вважають, що .

Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції  і  накладати не треба.

Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція  виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.

Зовнішня міра множини  визначається співвідношенням .

Для будь-якої множини

,

де  – це індикатор множини , що визначається як

а) якщо , то ;

б) якщо  і , то ;

в) якщо  або , то ;

г) якщо  задовольняє рівності , то для будь-якої функції  має місце рівність ;

д) якщо , то  для будь-якої функції ;

е) якщо  і , то . Якщо при цьому хоча б одна з функцій  або  -вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.

Позначимо через  дійсну пряму, а через  – розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.

Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для , і припустимо, що  і .

Позначимо через  множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій , де  – простір станів.

 – банахів простір всіх обмежених дійсних функцій  з нормою, що визначається за формулою

, .

Позначатимемо , якщо , ,  і , якщо , , .

Для будь-якої функції  і будь-якого числа  позначимо через  функцію, що приймає значення  в кожній точці , так, що

, .

Припущення монотонності. ............