Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Операторы проектирования.

 

 

Выполнил студент 5курса

математического факультета

Лежнин В.В.                           

 /подпись/

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов А.К.                             

 /подпись/

Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная М.И.                           

 /подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой                              М.В. Крутихина

                             /подпись/                 <<       >>

Декан факультета                               В.И. Варанкина

                                    /подпись/           <<        >>

Киров

2003

 

Оглавление.

Введение.                                                                                       2

Часть I. Основные понятия и предложения.                                   2

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.            10

Часть III. Задача о дополняемости.                                               13

Литература.                                                                                   15

Введение.

В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается  вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

Часть I. Основные понятия и предложения.

Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.

     Определение. Пусть d – метрика на  множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.

Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:

1.   £ + "x, yÎX.

2.   =  "xÎX, "a - скаляра.

3.   > 0, если x¹0.

Примеры нормированных пространств.

1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел    x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию  <¥,

норма в таком пространстве определяется ;

2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < ¥,  и норма определена как  = .

3) С[0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. ............