Введение

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.

Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.

Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).

В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Глава I. Определение дуальных и двойных чисел

1.1 Дуальные числа

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(1)

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа  на другое число  будет вещественным лишь в том случае, когда ; если , то последнее равенство можно записать в виде . Вещественным, в частности, является произведение чисел  и :

(2)

Число  называют сопряжённым числу  (и обратно,  сопряжено ); корень квадратный  из произведения  (совпадающий с полусуммой  сопряжённых чисел  и ) называют модулем дуального числа  и обозначают через  (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма  двух сопряжённых чисел является вещественной; разность  является числом чисто мнимым (т.е. отличается от  лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число  тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым , когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)

, , ,  (3)

полностью остаются в силе для дуальных чисел.

Правило деления на дуальное число  мы теперь можем записать так:

. (4)

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число  необходимо, чтобы модуль  этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные  и  являются числами новой природы, которые условимся обозначать через  и ; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида , где  вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

 при ; .

Правила действий над символом  определяются следующими формулами:

, , , , , (5)

здесь - произвольное число, причём в среднем равенстве , а во втором и в двух последних ( в этих формулах может быть и числом вида ); правила действий над числами  определяются так:

(6)

Положим ещё

, ; (6а)

тогда для расширенного (введением чисел , ) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство  и все правила (3).

Число  нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число , равное , произведение которого на число  равняется нулю:

. ............