Определители Муниципальное образовательное учреждение - гимназия № 47 Реферат по математике ученицы 8 г класса Годуновой Екатерины г.Екатеринбург, 2000г. Введение
    Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.
    В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей Определители второго порядка.
    Рассмотрим систему уравнений:
    a1x + b1y = с1
    a2x + b2y = с2
    Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители
    Представим систему в виде квадратной матрицы:
    | a1 b1 |
    А = | |
    | a2 b2 | .
    число а1b1- а2b2 называют определителем системы и обозначают det A или D
    | a1 b1 | | a1 b1 |
    Dx = | | , Dy = | |
    | a2 b2 | | a2 b2 |
    Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.
    Возможны три случая:
    Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ? 0. Тогда система имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.
    Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений.
    Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого: система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.
    Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.
    Пример 1. Решить систему уравнений:
    2x + 3y = 8
    7x - 5y = -3
    | 2 3 | | 8 3| | 2 8 |
    D= | | = -31 Dx = | | = -31 Dy = | | = - 62
    | 7 -5 | | -3 -5| | 7 -3 |
    Система имеет единственное решение.
    х = Dx/D =1 y = Dy/D = 2
    Пример 2. Решить систему уравнений:
    2x + 3y = 8
    4x + 6y = 10
    | 2 3 | | 8 3|
    D = | | = 0, при этом Dx = | |= 18 ? 0. | |
    | 4 6 | | 10 6 |
    Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.
    Пример 3. Решить систему уравнений:
    2x + 3y = 8
    4x +6y = 10
    | 2 3 | | 8 3 | | 2 8 |
    D = | |= 0 Dx = | | =0 Dy = | | =0
    | 4 6 | | 16 6 | | 4 16 |
    Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений. Определители третьего порядка.
    Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .
    Определителем квадратной матрицы третьего порядка
    | a1 b1 c1 | называется выражение D = а1b2c3 - a1b3c2 + b1c2a3 -
    А= | a2 b2 c2 | b1c3a2 + c1a2b3 - c1a3b2
    | a3 b3 c3 |
    или, если выразить его через определители 2-го порядка:
    | b2 c2| | a2 c2 | | a2 b2 |
    a1 | | - b1 | | + c1 | |
    | b3 c3| | a3 c3 | | a3 b3| Определители n -го порядка
    Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где
    | a11 a12 ... ............