КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

"Утверждаю"

Начальник  кафедры № 9

полковник           ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент                                 А.И.СМИРНОВА

 "ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

ЛЕКЦИЯ  № 2 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол  № ___________

Кострома, 2004.

Содержание

Введение

1.  Определители второго и третьего порядка.

2.  Свойства определителей. Теорема разложения.

3.  Теорема Крамера.

Заключение

Литература

1.  В.Е. Шнейдер и др.,  Краткий курс высшей математики, том I,  гл. 2, п.1.

2.  В.С. Щипачев,  Высшая математика, гл.10, п.2.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.

 

1-ый учебный вопрос     ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

 ПОРЯДКА

 

Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида      

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает  номер строки, второй – номер столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.       Определителем второго порядка называют выражение  вида:

                     (1)

Числа  а11, …, а22 называют  э л е м е т а м и  определителя.

Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами  а12; а21 -  п о б о ч н ой.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

ПРИМЕРЫ.    Вычислить:

Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.      Определителем третьего порядка называется выражение   вида:

Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.

Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.

Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:                       

                  " + "                                                " – "                                                                                             

С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.

Это правило вычисления определителя третьего порядка называют    

 п р а в и л о м      т р е у г о л ь н и к о в.

ПРИМЕРЫ.  Вычислить по правилу треугольников:

ЗАМЕЧАНИЕ.    Определители называют также  д е т е р м и н а н т а м и.

2-ой учебный вопрос      СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

                                           ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. ............