Отрицания и антитезы в E-структурах

Когда речь идет о литералах рассуждения, то вопрос об их отрицаниях особых сложностей не вызывает. Если мы говорим «Не A» или «Невозможно A», где A является литералом, то подразумеваем дополнение соответствующего множества A в некотором универсуме. Более сложен ответ на вопрос, что является с точки зрения E‑структур отрицанием данного суждения. И тем более непростой является математическая модель отрицания для рассуждения, содержащего связную совокупность суждений.

Рассмотрим сначала, как решается вопрос с отрицаниями в математической логике. Язык математической логики подчиняется строгим законам синтаксиса. Эти, по правде сказать, не очень простые для изучения законы нам для понимания дальнейшего изложения знать необязательно. Важно то, что весь разнообразный и необозримый набор синтаксически правильных предложений, выраженных на языке математической логики, можно представить как множество формул. Формулы могут быть простыми и сложными, но для каждой формулы существует единственное отрицание, которое выражается с помощью приписывания логической связки «не» перед формулой. Например, если исходная формула у нас обозначена как F, то ее отрицанием является формула, которая обозначается как ØF (или в некоторых источниках как ). Отрицание формулы тоже является формулой, и для этих двух формул должны соблюдаться два закона (соотношения):

1) формула F Ù— безусловно ложная формула;

2) формула F Ú— безусловно истинная формула (тавтология или теорема).

Здесь у нас знаками Ù и Ú обозначены соответственно логические связки "И" (конъюнкция) и "ИЛИ" (дизъюнкция). Эти законы имеют в логике соответствующие названия: закон непротиворечия и закон исключенного третьего, и они к тому же однозначно определяют свойства отрицания. Из них, в частности, следует, что для любой формулы может быть только одно отрицание.

С учетом этих законов нетрудно увидеть сходство между отрицаниями в математической логике и дополнениями в алгебре множеств. В алгебре множеств соответствующие законы выражены для произвольного множества S в виде двух соотношений:

S Ç = Æ и 2) S È = U.

Здесь у нас пустое множество соответствует в логике безусловно ложному утверждению, а в случае, когда соответствующее множество равно универсуму, это означает, что соответствующее логическое выражение безусловно истинно.

Чтобы найти более тесную связь между логикой и алгеброй множеств, рассмотрим понятие «подстановка» в математической логике. Обычно каждая формула содержит определенное число переменных, вместо которых можно подставить какие-то константы (например, переменной может быть "книга в библиотеке", а константой – какая-то конкретная книга). Если в формуле одна или несколько переменных, и все эти переменные заменяются константами, то совокупность этих констант и их соотнесенность с соответствующими переменными называется подстановкой данной формулы. Если данная подстановка характеризуется тем, что формула, в которой все переменные заменены соответствующими константами, является истинной формулой, то такая подстановка называется выполняющей подстановкой данной формулы.

При интерпретации формул математической логики, когда мы рассматриваем каждую логическую формулу как множество выполняющих подстановок, оказывается, что отрицание формулы полностью соответствует дополнению алгебры множеств. Например, логическая формула выражает понятие "множество пар всех целых чисел X и Y, сумма которых равна 100". ............