Побудова великих простих чисел.

Розглянемо методи перевірки чисел на простоту, при застосуванні яких можна стверджувати, що перевіряючі числа дійсно є простими.

На відміну від попередніх тестів, які використовували необхідні умови простоти й давали відповіді типу ² - не просте², або ²не знаю² або ²імовірність того, що  – не просте, не вище заданого як завгодно малого значення², дані тести засновані на застосуванні достатніх умов простоти. Тому вони можуть давати як відповіді типу ² - не просте², ²не знаю², так й ² - просте².

 Ця властивість застосовується для побудови простих чисел. Загальна схема в цьому випадку така: обирається деяка послідовність чисел спеціального виду, серед яких потрібно знайти просте число, потім до чисел із цієї послідовності застосовується тест доти, доки він не дасть позитивну відповідь.

Якщо ця відповідь ²- не просте², то обирається наступне число. Якщо отримано відповідь ² - просте², то шукане просте число побудоване.

Розглянемо достатні умови простоти чисел, які, звичайно, застосовуються в алгоритмах побудови доказово простих чисел.

Критерій Люка.

Теорема, уперше доведена Люка в 1876 р., перетворює малу теорему Ферма в критерій простоти числа , достатня умова якого може бути ефективно використана для доказу простоти цього числа.

Теорема 1. (Люка)

Натуральне число  є простим у тому і тільки в тому випадку, коли виконується умова

 (1)

Доведення.

Якщо  просте, то в полі  є примітивний елемент, що і буде шуканим. Навпаки, нехай для елемента  виконується умова (1). Якщо , те, причому умова (1) гарантує, що . Отже,  і
 – просте. Теорема доведена.

Зауваження (Селфридж).

Умова (1) у даній теоремі можна замінити на кожну з таких умов:

 (2)

 (3)

Дійсно, те, що (1) =>(2) й (1)=>(3) , очевидно.

Доведемо, що (3)=>(2) . Нехай . За умовою для кожного  знайдеться  таке, що , але  не ділить число .

Отже, . Отже, знайдуться елементи , такі, що . Тепер елемент  буде шуканим, тому що порядки елементів  взаємно прості й

Теорема Люка дозволяє довести простоту числа  у випадку, коли відоме розкладання на прості співмножники числа  

Для цього можна використати детермінований алгоритм, заснований на переборі всіх можливих значень , або скористатися таким імовірнісним методом:

1) обираємо випадкові числа  й перевіряємо для них умову (1);

2) якщо умова (1) виконана хоча б для одного із цих чисел, то  просте, якщо ні, то відповідь невідома.

Аналогічний метод можна побудувати, використовуючи умову (3).

Проілюструємо цей метод стосовно до чисел Ферма.

Числами Ферма називають числа виду (Покажіть, що число виду  може бути простим у тому і тільки в тому випадку, коли .)

Ферма висловлював припущення, що всі числа такого виду – прості. При  це дійсно так. Але при , як показав Ейлер в 1732 р., справедливе розкладання

.

В 1878р. Іван Михейович Первушин показав, що числа  й  також не є простими. (Зазаначимо, що число  має 2525223 цифри. При відтворенні такого числа знадобився б рядок довжиною в 5 км або книга об'ємом 1000 сторінок).

Теорема 2. (Пепін, 1877).

Числа  при  є простими в тому і тільки в тому випадку, коли виконується умова

Доведення. ............