Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.
п.1. Построение поля комплексных чисел.
Рассмотрим множество . Определим на бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию и определим элементы .
Для :
;
;
.
Обозначим: .
Теорема 1. Алгебра является полем.
Доказательство. Проверим, что алгебра есть абелева группа.
Для
.
Для
.
Для
.
Для
(.
Проверим, что операция - ассоциативна, то есть
.
Действительно,
.
Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для
.
Действительно,
,
.
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
Из выше доказанного следует, что алгебра есть кольцо.
Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для .
Действительно,
.
Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть
.
Действительно,
.
Так как , то .
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,
.
Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.
Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:
для .
Теорема 2. Каждое комплексное число может быть, и притом единственным образом, записано в виде:
, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).
Доказательство. Существуют такие, что . Имеем
.
Теорема 3. Число обладает свойством: .
Доказательство. .
Из равенства следует, что .
Определение. Пусть , где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .
Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:
если , то ;
если , то .
Определение. Если , то комплексное число называют чисто мнимым числом.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
1) Для
.
Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.
Доказательство. .
2) Для
.
Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.
Доказательство. .
3) Для
.
Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.
Доказательство. ............
