Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.

п.1. Определение поля.

Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент  из множества  называется обратным в кольце , если .  называется обратным к .

Примеры.

Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как , элемент 5 необратим в кольце целых чисел. - обратимые элементы в кольце целых чисел

Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме .

Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме .

Определение. Поле – это кольцо , если:

- коммутативное кольцо (операция  коммутативна)

- кольцо с единицей 1, единица .

Всякий ненулевой элемент кольца  обратим.

Примеры полей.

- поле рациональных чисел.

- поле действительных чисел.

Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.

Поле Галуа - галуафилд. ; . Определим

операции сложения и умножения:

 И   - бинарные операции, - унарная

Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. , .

п.2. Простейшие свойства поля.

Пусть - поле. Обозначение:    .

Если , то .

Доказательство. Пусть , докажем, что , то есть , тогда  противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | ,  .

Если , .  умножим равенство  справа на , то есть  .

.

Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства  на  слева,  .

В поле нет делителей 0.

Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: , , значит нет делителей нуля.

Каждое поле является областью целостности.

Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.

.

Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на  , где .

, где .

Доказательство. Выпишем правую часть    равна левой части.

, где .

Доказательство. Правая часть   равна левой части.

, .

Доказательство. Правая часть  левая часть.

, .

Доказательство. Левая часть  .

, .

Если , то .

Доказательство. Вычислим произведение   то есть  обратный элемент к .

, где .

Доказательство. Левая часть равна   равна правой части.

- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.

Доказательство. Следует из свойств поля:

1. , так как поле.

2.

3.

4. , так как поле

Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.

п.3. Подполе.

Определение. Подполем поля  называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от  называется собственным полем.

Определение. ............