Производственные задачи
    
    Содержание
    
    1. Линейная производственная задача
    2. Двойственная задача
    3. Задача о "Расшивке узких мест производства"
    4. Транспортная задача
    5. Распределение капитальных вложений
    6. Динамическая задача управления запасами
    7. Анализ доходности и риска финансовых операций
    8. Оптимальный портфель ценных бумаг
    
    1. Линейная производственная задача
    Линейная производственная задача - это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:
    Предположим, предприятие или цех может выпускать видов продукции, используя видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.
    Примем следующие обозначения:
     Номер ресурса (i=1,2,...,m) Номер продукции (j=1,2,...,n) Расход i-го ресурса на единицу j-ой продукции Имеющееся количество i-го ресурса Прибыль на единицу j-ой продукции Планируемое количество единиц j-ой продукции Искомый план производства Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу максимизирующую прибыль:
    
    При этом, какова бы ни была производственная программа , ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т.е.
    , где
    А так как компоненты программы - количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно добавляется еще одно условие:
    , где
    Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции (), используя для этого три вида ресурсов (). Известна технологическая матрица затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли:
    
    
    Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:
    Найти производственную программу максимизирующую прибыль:
     (1.1) при ограничениях по ресурсам:
     (1.2) где по смыслу задачи: , , ,
    Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения введем дополнительные неотрицательные неизвестные:
    , , остаток ресурса определенного вида (неиспользуемое количество каждого ресурса) Тогда вместо системы неравенств (1.2), получим систему линейных алгебраических уравнений:
     (1.3) где среди всех решений, удовлетворяющих условию неотрицательности:
    , , , , , ,
    надо найти решение, при котором функция (1.1) примет наибольшее значение. Эту задачу будем решать методом последовательного улучшения плана - симплексным методом.
    Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (1.3) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид - дополнительные переменные являются базисными. ............