ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області . Розіб'ємо область сіткою поверхонь на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють . У кожній частині візьмемо довільну точку і утворимо суму
,(1)
яка називається інтегральною сумою для функції за областю . Нехай – найбільший з діаметрів областей .
Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
або .
Таким чином, за означенням
,(2)
де – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; і – змінні інтегрування; (або ) – елемент об'єму.
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною в точці , то маса цього тіла знаходиться за формулою
. (3)
Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму тіла :
.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
.
3. Якщо в області інтегрування , то
.
4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і , то
.
5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то
,
де і відповідно найменше і найбільше значення функції в області .
7. (Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує така точка , що
.
Величина
називається середнім значенням функції в області .
2. Обчислення потрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.
Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .
Рисунок 1 – Область
Якщо при цьому область є правильною, то область називається правильною у напрямі осі . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі , перетинає межу області у точках і . ............
