Пределы последовательностей и функций Контрольная работа по высшей математике 1. Пределы последовательностей и функций
    Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .
    В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа ? существует такой номер , зависящий от выбранного ?, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на ?, т. е.
    при .
    Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
    .
    Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
    Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
    .
    Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа ? можно указать другое положительное число ? (зависящее от выбора ?) такое, что абсолютная величина разности будет меньше ?, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля
    , если при .
    Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на "языке последовательностей". Второе определение носит название "на языке ".
    Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число ?, что при всех справедливо неравенство : .
    Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
    Примеры
    Найти предел функции
    Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
    
     2. Производная и дифференциал
    Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
    Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается
    .
    Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .
    Определение производной можно записать в виде формулы
    . ............