Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Содержание

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Предел числовой последовательности

Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу  по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел  называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число  называется пределом числовой последовательности , если для любого числа  существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности  выполняется условие .

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности   и , которые удовлетворяют условию  и , было бы справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность  сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров  выполняется неравенство . Но так как  произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности   и , тогда

.

Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия  и . В частности, если , а , то  или  при условии, что . Это значит, что числовая последовательность  для  ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей  должна сходиться. Пусть . Докажем, что  сходится к  также.

Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех  выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности  существует такой номер , что для всех  и  будет выполняться условие .

Выберем  и зафиксируем некоторое . Тогда для всех  получим:

.

Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность  называется монотонно возрастающей, если выполняется неравенство , и монотонно убывающей, если .

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность  имеет предел.

Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.

2. ............