Учебно-исследовательская работа

«Преследование на плоскости»

Введение

Заключается задача в очень простой вещи. Есть преследователи, один или группа, и есть некто, кто пытается от них убежать. А нам важно понять – это очень просто убегать и догонять или это можно делать множеством способов отличающихся друг от друга эффективностью. И трудно ли найти наиболее эффективный (или оптимальный) способ погони или наоборот бегства.

Прежде чем приступать к анализу рассмотрим ситуацию, которая на первый взгляд кажется простой. Пусть некоторый кусок плоскости ограждён забором в форме окружности и в этом загоне лис пытается поймать кролика который бегает несколько быстрее лиса. Очевидно, что у лиса не было бы никаких шансов, если бы кролик имел возможность бежать по прямой. В этом случае при любой стратегии поведения лиса расстояние между ними бы только увеличивалось. Стена может быть причиной по которой кролику придётся развернуться и побежать в сторону лиса и здесь для лиса возникает уникальная возможность поймать кролика.

Однако эта возможность реальна только для очень специальной формы площадки и при не очень умном поведении кролика. Но и при самой простой форме – окружности у лиса есть интересная возможность не отстать от кролика даже при существенном различии в скоростях. Покажем, как он может это осуществить.

Предварительное замечание. Цель кролика находиться как можно дальше от лиса. Из этого следует, что при необходимости смены направления кролик должен осуществлять эту перемену так, чтобы его направление движения составляло не острый угол с направлением движения лиса (иначе он начнёт сближение). Необходимость же смены направления возникает при угрозе столкновения со стенкой. Максимально тупой угол кролик может обеспечить себе, двигаясь вдоль стенки. Отсюда следует, что при заборе имеющим форму окружности оптимально для кролика бежать по окружности как можно большего радиуса, то есть вдоль стены.

Как же в этом случае вести себя лису. Предположим, что у лиса скорость в два раза меньше. Тогда если он будет бежать по окружности центр которой будет совпадать с центром окружности кролика но длина её будет в два раза меньше, то за одно и тоже время и кролик и лис оббегут полную окружность и следовательно в каждый момент времени расстояние между ними будет равно разности Rк – Rл то есть независимым от времени. Что и требовалось доказать.

Интересный вопрос. Итак, мы выяснили, что один лис может не отстать от кролика, не означает ли, что группа лисиц (и может быть даже не очень большая) в состоянии кролика поймать.

Данный пример был призван показать, что задача не тривиальна и нуждается в тщательном исследовании, которым мы далее и займёмся. А для начала сформулируем ещё раз цель исследования:

Главная цель: Выяснить, существует ли оптимальная стратегия как для убегающего, так и для догоняющего и если да то, как её построить. А оптимальная стратегия – это такая стратегия, которая гарантирует наилучший результат независимо от поведения противника

Для того чтобы построить какую-либо теорию, мы должны строго описать основные понятия и объекты, а также сформулировать какие-то основные утверждения которые будут служить аппаратом для получения нового знания.

Игра на преследование, убегающий игрок, группа преследователей – Это основные понятия, их смысл ясен интуитивно.

Простое движение. ............