МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
     ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Магнитогорск -1999 Н е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
    Формула парабол (формула Симпсона)
    Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
    
    
    
    
    
    
    
    Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
    y = Ax2 + Bx + C.
    Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
    Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
    Если криволинейная трапеция ограничена параболой
    y = Ax2 + Bx + C,
    осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
    S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (O)
    где у0 и у2 - крайние ординаты, а у1 - ордината кривой в середине отрезка
    Пользуясь формулой (O), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=?x):
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:
    
    
    Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.
     Примеры
    Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
    
    И
    
    Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
    Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. ............