Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования Московской области

Московский Государственный Областной Педагогический Институт

Физико-математический факультет.

Курсовая работа

на тему

 

Применение интегралов

к решению прикладных задач

 

Выполнил студент

группы 3-М-2

Ширшов Вадим Алексеевич

Проверила

Воробьёва Н.Г.

Орехово-Зуево.

2008

Содержание

Вступление.

1. Определённый интеграл.

1.1 Площадь криволинейной трапеции.

1.2 Объём тела.

1.3 Длина дуги.

1.4 Площадь поверхности вращения.

1.5 Нахождение статического момента и центра тяжести кривой.

1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоской фигуры.

1.7 Механическая работа.

2. Двойной интеграл.

2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области.

2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области.

2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса.

2.4 Механические приложения.

3. Криволинейный интеграл.

3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.

3.2 Приложения к физическим задачам.

4. Поверхностный интеграл.

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением.

4.2 Площадь поверхности в общем случае.

5.Тройной интеграл.

5.1 Масса тела. Объём.

5.2 Замена переменной в тройном интеграле.

Заключение.

Вступление

Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализа уже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан со школьным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределённые и определённые интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождение площади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всего интегрального исчисления.

интеграл площадь объем статический момент

 

1. Определённый интеграл

 

1.1 Площадь криволинейной трапеции

Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции  (чертёж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой , имеющей уравнение , где - положительная и непрерывная в промежутке  функция; снизу она ограничена отрезком  оси , а с боков – двумя ординатами  и (каждая из которых может свестись к точке).

 

Чертёж 1.

Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток  на части, вставив между a и b ряд точек . Обозначив через  и , соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции  в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)

, .

Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому . Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей  обе суммы имеют своим пределом интеграл , следовательно, ему и равна искомая площадь P=. ............