Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Применение уравнение Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы»
Гомель 2006
Содержание
Введение
1 Механическая система. Связи. Классификация связей
2 Возможные перемещения. Число степеней свободы
3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости
4 Обобщенные силы
5 Уравнения Лагранжа второго рода
6 Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы
7 Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию механической системы
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений входят обобщённые активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперёд неизвестные реакции связей.
Основная задача динамики в обобщённых координатах состоит в том, чтобы, зная обобщённые силы и начальные условия, найти закон движения системы, то есть определить обобщённые координаты как функции времени. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат и составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению к инерциальной системе отсчёта) или относительное движение механической системы. Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы. Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.
1 Механическая система. Связи. Классификация связей
Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, будем называть механической системой. Если между точками (телами) механической системы действуют силы взаимодействия, то она обладает тем свойством, что в ней положение или движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных. Классическим примером такой системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения.
Определение 1 [1, с. 357]: Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.
Рассмотрим, как классифицируются эти связи.
Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными.
Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы – кинематическими или дифференциальными.
Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.
Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются голономными связями, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.
По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).
Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают.
2 Возможные перемещения. ............
