1. Индивидуальное задание

Вычислить минимум функции F(x)=L(x1)x2-2.5L(x2)x-3 на отрезке [a;b] с точностью ε.

L(x1), L(x2) значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x1, x2.

Исходные данные:

a=0; b=2;

x1=0.041770;

x2=0.587282;

ε=10-4;

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f(x) 1.858652 1.851659 1.851401 1.848081 1.841914 1.833125 1.821948

 

2. Постановка задачи и формализация

 

Для решения поставленной задачи необходимо разработать программные модули, выполняющие следующие действия:

- главный модуль, получающий исходные данные (таблично заданную f(x), a, b, x1, x2, ε), передающий их на обработку и выводящий промежуточные и конечные результаты (L(x1), L(x2), найденный минимум функции)

- модуль поиска значения интерполяционного многочлена L(x1), L(x2)

- модуль поиска минимума функции F(x) численным методом, использующий L(x1), L(x2) как коэффициенты при x2 и x

3. Выбор, обоснование, краткое описание методов

3.1 Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x1 и x2

 

3.1.1 Постановка задачи

Требуется найти L(x1), L(x2) - значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x1,x2 Здесь решается задача аппроксимации, которая состоит в замене некоторой функции

у = f(х) другой функцией g(х,а0,а1,...,an) таким образом, чтобы отклонение g(х,а0,а1,...,an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве X) определенному условию. Этим условием является g(xi,a0,a1,…an)=f(xi) при i=0,n, которое означает, что аппроксимируемая функция f(x) совпадает с g(xi,a0,a1,…an) в т.н. узлах интерполяции x0,x1,…,xn. Это частный случай аппроксимации, называемый интерполяцией.

 

3.1.2 Выбор и описание метода

Задача интерполяции может быть решена множеством методов, среди которых:

1)  интерполяционный многочлен Лагранжа

интерполяционные формулы Ньютона Выберем для решения задачи интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа, так как его построение просто в алгоритмизации, не требует вычисления конечных разностей функции, , может быть умещено в одну небольшую процедуру – функцию.

Кроме того, метод Лагранжа работает и для неравноотстоящих интерполяционных узлов, к тому же не имеет различий, если точки x1 и x2 для поиска значений L(x1), L(x2) лежат в начале или в конце отрезка, где таблично задана функция.

Описание метода:

Задача интерполяции будем решать построением многочлена Лагранжа, который имеет вид:

 

Степень многочлена n обеспечивается n+1 интерполяционным узлом. Для задания таблицы значений функции будем использовать два массива x() и y(). Полином должен удовлетворять условию Ln(xi)=y(i)

3.2 Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b]

 

3.2.1 Постановка задачи

Необходимо численным методом найти минимум функции F(x)=L(x1)x2-2.5L(x2)x-3

на отрезке [a;b] с точностью ε, при том, что L(x1) и L(x2) – коэффициенты, полученные вычислением полинома Лагранжа в точках x1, x2. Это задача одномерной оптимизации.

Выбор метода: Для решения задачи одномерной оптимизации существует множество методов, среди которых:

1)  метод прямого перебора

2)  метод дихотомии

3)  метод золотого сечения

4)  метод Фибоначчи

5)  метод касательных

6)  метод Ньютона

оптимизация методом квадратичной интерполяции Выберем метод дихотомии, т.к. ............