Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике Научная работа Автор Бирюков Павел Вячеславович. Гимназия №1 города Полярные Зори Январь-май 2004 г. Производная функция
    Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.
    Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x - его приращением. Приращение ?x; аргумента обусловливает приращение ?у функции, причем:
    ?y=f(x+?x)-f(x). (I)
    Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента:
    ?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II)
    По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке
    [x, x+?x].
    Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.
    Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
    
    (III)
    С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.
    Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.
    2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).
    Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть линейная функция Q' = b + 2at.
    3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением
    данной функции ставится символ d/dx.
    Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:
    1) у', читать: "производная функции у",
    или
    2) dy/dx, читать: "дэ игрек по дэ икс".
    Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:
    1) f '(х), читать: "производная функции f(x)",
    или же
    2) df(x)/dx, читать: "дэ эф от икс по дэ икс".
    4°. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.
    Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
    1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ?x и x;
    2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить на ?x;
    3) найти предел отношения ?y/?x при ?x >0.
    Пример. ............