Южно-Сахалинский Государственный Университет Кафедра математики Курсовая работа Тема: Производная в курсе алгебры средней школы Автор: Меркулов М. Ю. Группа: 411 Руководитель: Чуванова Г. М. Оценка: Южно-Сахалинск 2002г Введение В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для 10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой работы - раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и дать рекомендации по поводу использования этих учебников. Производная и ее применение 1. Понятие производной 1-1. Исторические сведения Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. 1-2. Понятие производной Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x). y'(x)= 1-3. Правила дифференцирования и таблица производных C' = 0 (xn) = nxn-1 (sin x)' = cos x x' = 1 (1 / x)' = -1 / x2 (cos x)' = -sin x (Cu)'=Cu' (vx)' = 1 / 2vx (tg x)' = 1 / cos2 x (uv)' = u'v + uv' (ax)' = ax ln x (ctg x)' = 1 / sin2 x (u / v)'=(u'v - uv') / v2 (ex)' = ex (arcsin x)' = 1 / v (1- x2) (logax)' = (logae) / x (arccos x)' = -1 / v (1- x2) (ln x)' = 1 / x (arctg x)' = 1 / v (1+ x2) (arcctg x)' = -1 / v (1+ x2) 2. Геометрический смысл производной 2-1. Касательная к кривой Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x). Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент: То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. ............