Дискретні динамічні системи

 

Завдання №1

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням

 (1.1.0)

де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Yt, якщо Y0=1

Рішення

1. Варіант початкових даних Y0=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({y(n)=1/4*y (n‑1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

>

> R3:=simplify(%);

Результат:

Завдання №2

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

 (1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y0=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

xt = F (xt‑1, xt-2,…, xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта xt у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення xt при t = 0, 1,…, n – 1.

Підставляючи початкові значення xn‑1,…, x1, x0 і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо xn; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер xn, xn‑1,…, x2 x1 і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо xn+1, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду xt = a1 xt-1 + a2 xt-2 + f(t) – лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y0=0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0}, f(n));

Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

3. Варіант початкових даних Y0=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=1}, f(n));

> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

4. Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

Завдання №3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

 (1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну pD=S(при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

 (1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

 (1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

 (1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

 (1.3.4)

а оскільки

 (1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

 (1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

 (1.3.7)

Для приросту ціни ∆pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. ............