РЕФЕРАТ
Регрессионный анализ. Парная регрессия.
I. Построение регрессионных моделей
1. Смысл регрессионного анализа – построение функциональных зависимостей между двумя группами переменных величин Х1, Х2, … Хр и Y. При этом речь идет о влиянии переменных Х (это будут аргументы функций) на значения переменной Y (значение функции). Переменные Х мы будем называть факторами, а Y – откликом.
Сегодня мы разберем наиболее простой случай – установление зависимости одного отклика y от одного фактора х. Такой случай называется парной (простой) регрессией.
2. Построение модели
Этап 1. Исходные данные: заранее известные (экспериментальные, наблюденные) значения фактора хi – экзогенная переменная и соответствующие им значения отклика yi, (i = 1,…,n) - эндогенная переменная;
Активный и пассивный эксперимент.
Выборочные характеристики – позволяют кратко охарактеризовать выборку, т. е., получить ее модель, хотя и очень грубую:
а) среднее арифметическое:
Среднее арифметическое – это «центр», вокруг которого колеблются значения случайной величины.
Пример: средняя продолжительность жизни в России и США
б) дисперсия:
Отклонение от среднего: - характеризует лишь «разброс» конкретной, отдельно взятой величины хi. Если мы захотим получить более полную информацию, нам придется выписать такие отклонения для всех х, т. е., получить такой же ряд чисел, как и исходная выборка.
Можно попытаться усреднить все отклонения, но «среднее арифметическое отклонений от среднего арифметического» имеет особенность:
Эта величина обнуляется из-за того, что отрицательные значения отклонений и положительные взаимно погашаются.
Чтобы избежать этого, возведем их в квадрат, получив так называемую выборочную дисперсию:
Выборочная дисперсия характеризует разброс (вариацию) элементов выборки вокруг их среднего арифметического. Важно иметь в виду, что сами элементы выборки и их дисперсия имеют разные порядок: если элементы выборки измеряются в метрах, то дисперсия – в квадратных метрах.
Стандартное отклонение:
Полезное свойство дисперсии:
Т. о.
Характеристики генеральной совокупности:
математическое ожидание М(Х)
дисперсия D(X)
Несмещенная оценка дисперсии:
Для простоты, мы будем использовать смещенную оценку – выборочную дисперсию – при достаточно больших n они практически равны.
Этап 2. Постановка задачи: предположим, что значение каждого отклика yi как бы состоит из двух частей:
- во-первых, закономерный результат того, что фактор х принял конкретное значение хi;
- во-вторых, некоторая случайная компонента ei, которая никак не зависит от значения хi.
Таким образом, для любого i = 1,…,n
yi = f(xi) + ei
Смысл случайной величины (ошибки) e:
а) внутренне присущая отклику у изменчивость;
б) влияние прочих, не учитываемых в модели факторов;
в) ошибка в измерениях
Этап 3. Предположения о характере регрессионной функции
Возможный вид функции f(xi)
- линейная:
- полиномиальная
- степенная:
- экспоненциальная:
- логистическая:
Методы подбора вида функции:
- графический
- аналитический
Этап 4. Оценка параметров линейной регрессионной модели
1. ............
