Лабораторная работа

Решение нелинейных уравнений

Задание

N =07

М=2

Дано уравнение:         

1. Найти все решения уравнения графически.

2. Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до

e = 0,001:

2.1. *методом половинного деления;

2.2. *методом Ньютона - Рафсона;

2.3.  методом секущих;

2.4.  конечно-разностным методом Ньютона;

2.5. *методом простой итерации;

2.6. *методом хорд и касательных

2.7.  комбинированным методом Ньютона.

3. Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.

4. Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.

нелинейный уравнение графический ньютон итерация

1. Решение уравнения графически:

 

2. Метод половинного деления

Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.

Начальное приближение:

Критерий остановки: <2; .

Таблица результатов

Метод половинного деления k

ak

bk

xk

f(ak)

f(bk)

f(xk)

|bk-ak|

f(xk)*f(ak)

f(xk)*f(bk)

|bk-ak|<2ε

0 0 1,5 0,75 -2,070 4,305 -0,148 1,5 0,306360 -1,000000 - 1 0,75 1,5 1,125 -0,148 4,305 1,604 0,75 -0,237392 6,905220 - 2 0,75 1,125 0,938 -0,148 1,604 0,631 0,375 -0,093388 1,012120 - 3 0,75 0,938 0,844 -0,148 0,631 0,219 0,188 -0,032412 0,138190 - 4 0,75 0,844 0,797 -0,148 0,219 0,03 0,094 -0,004440 0,006570 - 5 0,75 0,797 0,774 -0,148 0,03 -0,058 0,047 0,008584 -0,001740 - 6 0,774 0,797 0,786 -0,058 0,03 -0,012 0,023 0,000696 -0,000360 - 7 0,786 0,797 0,792 -0,012 0,03 0,011 0,011 -0,000132 0,000330 - 8 0,786 0,792 0,789 -0,012 0,011 -0,001 0,006 0,000012 -0,000010 - 9 0,789 0,792 0,791 -0,001 0,011 0,007 0,003 -0,000007 0,000080 - 10 0,789 0,791 0,790 -0,001 0,007 0,003 0,002 -0,000003 0,000020 - 11 0,789 0,790 0,790 -0,001 0,003 0,003 0,001     +

3. Метод Ньютона – Рафсона

Расчетная формула: , где

Начальное приближение:.

Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<ε; .

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рафсона k

xk

f(xk)

f'(xk)

|f(xk+1)-f(xk)|<ε

0 0,75 -0,1481 3,688 - 1 0,79 0,003 3,872 - 2 0,789 -0,0008 3,868 +

4. Метод Ньютона – Рассела

Расчетная формула:  

Начальное приближение: : x = 0,75

Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<ε, .

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рассела k

xk

h

xk+h

f(xk)

f(xk+h)

|f(xk+1)-f(xk)|<ε

0 0,75 1 1,75 -0,1481 6,789 - 1 0,771 1 1,771 -0,0697 7,027 - 2 0,781 1 1,781 -0,0316 7,141 - 3 0,785 1 1,785 -0,0163 7,187 - 4 0,787 1 1,787 -0,0086 7,211 - 5 0,788 1 1,788 -0,0047 7,222 - 6 0,789 1 1,789 -0,0008 7,234 - 7 0,789 1 1,789 -0,0008 7,234 +

5. Метод простой итерации

Расчетная формула:. x=(x), где (x)=x - k f(x), k=0.11

Начальное приближение: x = 0,75

Критерий остановки: |xk+1-xk|≤ε; .

Таблица результатов

Метод простой итерации k

xk

φ(xk)

|xk+1-xk|≤ε

0 0,5 0,604 - 1 0,604 0,675 - 2 0,675 0,720 - 3 0,720 0,748 - 4 0,748 0,765 - 5 0,765 0,775 - 6 0,775 0,781 - 7 0,781 0,784 - 8 0,784 0,786 - 9 0,786 0,787 - 10 0,787 0,788 - 11 0,788 0,789 - 12 0,789 0,789 +

6. ............